Anschauliche Beispiele für die Verwendung von Integralen und Stammfunktionen

Integrale kannst du dir als unendlich viele kleine Teile einer Größe vorstellen, die über ein bestimmtes Intervall aufsummiert werden. Wir zeigen dir im folgenden zwei Anwendungsbeispiele, damit du sehen kannst, wofür das in realen Anwendungen nützlich sein kann.

Integrale und Stammfunktionen können beispielsweise dazu verwendet werden, den Kraftstoffverbrauch eines Autos über eine bestimmte Strecke zu berechnen. Angenommen, man hat eine Geschwindigkeitsfunktion v(t), die die Geschwindigkeit des Autos in Abhängigkeit von der Zeit angibt. Die Stammfunktion von v(t) gibt die zurückgelegte Strecke als Funktion der Zeit, s(t), an.

Um den Kraftstoffverbrauch zu berechnen, benötigt man zusätzlich eine Funktion, die den Verbrauch in Litern pro Stunde in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit angibt: c(v). Durch Multiplikation von c(v(t)) mit der Geschwindigkeit v(t) erhält man die Verbrauchsfunktion pro Zeiteinheit. Das Integral dieser Funktion über den betrachteten Zeitraum gibt den gesamten Kraftstoffverbrauch für die Strecke an.

Ein weiteres Beispiel, das sowohl im Alltag als auch im Beruf Anwendung findet, ist der Flüssigkeitsfluss durch ein Rohr, z.B. Wasser, das durch einen Wasserhahn oder eine Pipeline fließt.

Angenommen, die Fließgeschwindigkeit der Flüssigkeit ändert sich im Laufe der Zeit und wird durch eine Funktion v(t) repräsentiert, wobei v die Fließgeschwindigkeit in Litern pro Minute und t die Zeit in Minuten ist.

Um die gesamte Menge an Flüssigkeit zu berechnen, die durch das Rohr fließt, kann man Integrale verwenden. Das bestimmte Integral von v(t) über ein Zeitintervall [a, b] gibt die gesamte Menge an Flüssigkeit an, die im betrachteten Zeitraum durch das Rohr geflossen ist: V = ∫[a, b] v(t) dt

In diesem Fall ist das Integral der Fließgeschwindigkeitsfunktion v(t) die kumulative Flüssigkeitsmenge, die im betrachteten Zeitraum durch das Rohr fließt.

Um eine Stammfunktion von v(t) zu finden, sucht man eine Funktion F(t), deren Ableitung v(t) ist: F'(t) = v(t)

Die Stammfunktion F(t) gibt die kumulative Flüssigkeitsmenge als Funktion der Zeit an, die bis zum Zeitpunkt t durch das Rohr geflossen ist. Um die gesamte Menge an Flüssigkeit zu berechnen, die im Zeitintervall [a, b] durch das Rohr geflossen ist, kann man die Differenz F(b) - F(a) berechnen.