Mathematik LK 12 / I                     2.Klausur Name:   Aufgabe 1) Gegeben sind die Funktionen fa   (a reell)  und h mit :   ;                a) Bestimme a so, dass              b) Wählen sie für die nächsten Aufgaben a = 4                 Diskutieren sie die Funktionen f und h und legen sie eine sorgfältige                 Funktionsskizze mit beiden Funktionen an!                                                 Hilfsskizze:                                                                        c) Bestimmen sie die Flächeninhalte die von den Funktionsgraphen von f und h                 eingeschlossen werden!             d) Ermitteln sie die Wendetangente von f und berechnen sie den Flächeninhalt der von                 der Wendetangente und dem Graphen von h eingeschlossen wird!             e) Ermitteln sie den Flächeninhalt der vom Graphen der Funktion g:                 mit der x-Achse eingeschlossen wird.             f) Die Funktion g ist ein Sonderfall der Funktionenschar ga :  .                 Zeigen sie, dass die Funktionsgraphen für alle a (mit Außnahme a= 0) mit der x-Achse                 den Flächeninhalt von 4/3 einschließen.   Aufgabe 2)     Berechnen sie, wenn möglich, die Fläche unter den Funktionsgraphen.              a) Für f1 :  im Intervall  ]0 ; 1 ]  und im Intervall [1 ; oo [             b) Für f2 :  im Intervall  ]0 ; 1 ]  und im Intervall [1 ; oo [             c) Bestimme eine negative Zahl a so, dass    Aufgabe 3)     Die Versorgung einer Stadt mit elektrischer Energie erfolgt durch einen Mix                           verschiedener Versorgungsmöglichkeiten:                        Ein Ölkraftwerk mit kontinuierlicher Energieabgabe                              Leistung (Energie pro Stunde) :                       Ein Solarkraftwerk                              Leistung (Energie pro Stunde) : s(t) (siehe Graphik)                        Ein Pumpspeicherwerk das überschüssige Energie dazu benutzt, Wasser                      hoch in den Speichersee zu pumpen und somit überschüssige Energie speichern                       kann.                      Der Bedarf der Stadt wird durch die Funktion Leistung (Energie pro Stunde)  gegeben.             a) Schildern sie kurz die Versorgungssituation zu unterschiedlichen Tageszeiten!           b) Ab welcher Zeit am Morgen muss das Pumpspeicherwerk zusätzliche Energie                 bereitstellen? (Genaue Berechnung!)           c) Vergleichen sie (quantitativ!) den Gesamtenergieverbrauch mit der Gesamtproduktion!           d) Berechnen sie, ob die in den Zeiten des Produktionsüberschusses produzierte Energie                 auch dann noch ausreicht, wenn beim Speichern dieser Energie 25% verloren gehen!           e)  Welchen Leistungsspitzenwert müsste das Solarkraftwerk bei gleicher Sonnenschein-                  dauer (7.00 – 19.00) erreichen, wenn der Gesamtenergiebedarf mit dem                  Solarkraftwerk & Pumpspeicherwerk gedeckt werden soll? (Sie brauchen                  die 25% Energieverlust nicht zu berücksichtigen)

Funktionsschar

Eine Funktionsschar ist wie eine Menge von Funktionen, die alle irgendwie miteinander verwandt sind. Sie teilen bestimmte Eigenschaften, aber jede Funktion ist ein bisschen anders. Jede Funktion unterscheidet sich durch einen oder mehreren Parametern von den anderen Funktionen. Man kann sich eine Funktionsschar als eine Gruppe von Geschwistern vorstellen. Jedes Geschwisterkind ist einzigartig, aber sie haben alle die gleichen Eltern und teilen einige gemeinsame Merkmale.

In der Mathematik werden Funktionsscharen verwendet, um eine Menge von Funktionen zu untersuchen, die sich in einer bestimmten Weise ähneln. Angenommen du möchtest in einem Koordinatensystem alle Geraden untersuchen, die durch den Ursprung gehen. Dann kannst du eine Funktionsschar verwenden und einfach den Parameter Steigung verändern.

Ein solches Beispiel für eine Funktionsschar ist die Familie von Geradenfunktionen, die so aussehen: f(x) = mx. Hier ist "m" der Parameter, der die Steigung der Geraden bestimmt, und "x" ist die unabhängige Variable. Wenn du den Wert von "m" änderst, erhältst du verschiedene Geraden, aber alle sind miteinander verwandt, weil sie alle linear sind.

Ein weiteres Beispiel ist die Familie von Parabeln, die so aussieht: f(x) = ax². In diesem Fall ist "a" wieder der Parameter, der beeinflusst, wie die Parabel geformt ist. Wenn du verschiedene Werte für "a" verwendest, bekommst du unterschiedliche Parabeln. Aber haben die gemeinsame Eigenschaft, dass sie die Form einer Parabel haben.

Funktionsscharen werden in der Physik, in Ingenieurswissenschaften, aber auch in Wirtschaft und Biologie verwendet. Man kann damit Systeme repräsentieren, die von Parametern abhängen. Als konkretes Beispiel könntest du das Wachstum von Populationen in Abängigkeit von verschiedenen Umweltfaktoren modellieren. Ein Umweltfaktor, wie beispielsweise die Fortpflanzungsrate wäre dann ein Parameter. Ein weiterer Parameter könnte die Sterblichkeit sein. Mit Funktionsscharen kannst du also ganze Systeme modellieren und dessen Eigenschaften anhand der Eigenschaften der Funktionsschar untersuchen.