Folgen und Reihen

Zahlenfolgen sind geordnete Listen von Zahlen, die bestimmten Regeln oder Mustern folgen. Jedes Element einer Zahlenfolge wird als Glied bezeichnet. Seine Position in der Folge ist der Index, auch Rang genannt.

Zahlenfolgen lassen sich wie Funktionen untersuchen. Eine häufige Fragestellung bezieht sich darauf zu untersuchen, ob eine Zahlenfolge monoton ist. Monotonie bedeutet, dass die Glieder der Zahlenfolge im Laufe der Folge stetig ansteigen oder stetig abnehmen.

Eine Zahlenfolge ist monoton steigend, wenn jedes Glied der Folge größer oder gleich groß wie das vorige Glied ist. Eine Zahlenfolge ist monoton fallend, wenn jedes Glied der Folge größer oder gleich groß wie das vorige Glied ist. Wird der Fall gleich groß ausgeschlossen, spricht man von "streng monoton steigend" bzw. "streng monoton fallend".

Ein weiteres Untersuchungsmerkmal bei Zahlenfolgen sind Schranken. Das sind Werte, die eine Zahlenfolge begrenzen. Zum Beispiel könnte eine Schranke von a(n) <= 3 bedeuten, dass alle Werte der Folge kleiner oder gleich groß dem Wert 3 sind. Kein Glied der Folge hat einen größeren Wert als 3.

Es gibt auch Zahlenfolgen, die sowohl eine untere als auch eine obere Schranke haben. In diesem Fall dagt man, dass die Folge beschränkt ist.

Oft kommt es vor, dass Zahlenfolgen zu einem Grenzwert hinkonvergieren. Das heißt, dass die Folge einem Grenzwert zustrebt, wenn der Index der Folge unendlich groß wird. Der Grenzwert einer Zahlenfolge wird auch Limes genannt. Wenn eine Zahlenfolge einen Grenzwert besitzt, ist die Zahlenfolge konvergent. Besitzt sie keinen solchen Grenzwert, nennen wir sie divergent.

Das Vorhandensein von Schranken, bedeutet nicht automatisch, dass eine Zahlenfolge konvergiert. Eine Zahlenfolge könnte beispielsweise bei dem Wert 2 starten und dann immer größer werden. Die Zahlenfolge hätte dann bei 2 eine Schranke, jedoch konvergiert die Folge nicht zum Wert 2.

Die Summe aller Glieder einer Zahlenfolge wird Reihe genannt.