E-Funktion und beschränktes Wachstum
Die e-Funktion ist eine Funktion mit bemerkenswerten Eigenschaften. Die wichtigste ist, dass ihre Ableitung und ihr Integral gleich der Funktion selbst sind. Die e-Funktion wird mit der Formel f(x) = ex geschrieben. x ist dabei eine reelle Zahl ist und e die Eulersche Zahl. Die Eulersche Zahl ist eine wichtige mathematische Konstante, die etwa 2,71828 beträgt.
Bei der Modellierung von beschränktem Wachstum spielt die e-Funktion eine wichtige Rolle, da sie die Grundlage für die sogenannte logistische Funktion bildet. Die logistische Funktion ist eine spezielle Funktion, die das beschränkte Wachstum beschreibt.
Beschränktes Wachstum beschreibt Prozesse, bei denen das Wachstum im Laufe der Zeit zunächst schnell ansteigt, aber nach und nach langsamer wird und sich schließlich einem bestimmten Grenzwert asymptotisch annähert.
Das bekannteste Beispiel für beschränktes Wachstum ist das logistische Wachstum. Dieses lässt sich beispielsweise bei der Ausbreitung von Populationen beobachten und ist deshalb ein Naturgesetz.
Wichtig ist zu verstehen, dass die Eulersche Zahl keine willkürliche Zahl ist. Sie ist in verschiedenen natürlichen Prozessen zu finden und ist somit eine universelle Zahl, die fest in unserem Universum "einprogrammiert ist". Eine vergleichbare Zahl ist die Kreiszahl π (pi), welche elementar in jedem Kreisverhältnis zu finden ist.
Die eulersche Zahl kommt in der Natur insbesondere bei Pänomenen vor, die mit exponentiellem Wachstum oder Zerfall zu tun haben. Also zum Beispiel beim Wachstum von Bakterien, bei der Zellteilung, beim Bevölkerungswachstum oder auch bei der Abkühlung und Erwärmung im Rahmen einer Angleichung von Temperaturen.
Du kannst mit der eulerschen Zahl und der passenden Funktionsgleichung beispielweise beschreiben, wie sich ein heißer Kochtopf auf dem Tisch im Laufe der Zeit abkühlt und zum Beispiel die jeweilige Temperatur des Kochtopfs zu einem Zeitpunkt x ausrechnen.